混合H2/H∞控制的典型系统及其反馈控制器设计

作者：信息来源:电子市场 2007-6-18

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摘要：本文给出了混合Ｈ２／Ｈ∞控制的完整信息、完整控制、干扰顺馈、输出估计这四种典型情况的描述，在二次稳定意义上的混合H２／Ｈ∞性能指标下，讨论了这四种典型情况的混合Ｈ２／Ｈ∞线性反馈控制器设计，给出了充分必要条件。这四种典型情况的最优混合Ｈ２／Ｈ∞线性反馈控制器设计，归结为解一个带有参数的Riccat...

摘要：本文给出了混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制的完整信息、完整控制、干扰顺馈、输出估计四种典型情况的描述，在二次稳定意义上的混合H_２／Ｈ_∞性能指标下，讨论了这四种典型情况的混合Ｈ_２／Ｈ_∞线性反馈控制器设计，给出了充分必要条件。这四种典型情况的最优混合Ｈ_２／Ｈ_∞线性反馈控制器设计，归结为解一个带有数的Riccati方程，且仅解一个Riccati方程。该Riccati方程随参数变化，包含了单纯的Ｈ_２和H_∞设计，可看作H_２、Ｈ_∞和混合Ｈ_２／Ｈ_∞的统一表达式。最后通过一个简单的例子，说明了本文的方法。
关键词：鲁棒控制性能指标不确定性 H_２／Ｈ_∞控制
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1 引言
    混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制结合了H₂控制和H_∞控制的优点，引起了广泛的关注^{［１］［２］［３］［４］［６］}。混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制方法通过寻找一个辅助代价函数，该辅助代价函数是系统H₂范数的一个上界。通过对辅助代价函数进行优化，来得到问题的解。这些文章研究的对象或者H_２和H_∞评价指标相同，或者干扰输入阵相同，有一定的局限性。另外，这些文章提供的方法非常复杂，求解控制规律需要解耦合的Ｒiccati方程。目前求解耦合Riccati方程问题，还没有特别有效的方法。
    系统鲁棒稳定的Ｈ_２范数求解问题，可等价地转化为一种特定的鲁棒二次稳定问题。通过鲁棒二次稳定问题的解，求出系统H₂鲁棒性能指标的上确界。本文根据这样的H₂鲁棒性能指标，研究几种典型的混合Ｈ_２／Ｈ_∞线性反馈控制器设计问题。本文首先对讨论的问题进行简单的描述，给出四种典型问题的数学描述及相应的条件，然后给出本文的主要结论。在第三节，证明本文的主要结论，最后通过一个简单的例子，说明本文的方法。
2 问题描述
    我们考虑图1所示的系统，G为已知的线性、定常、有限维系统模型。Δ为考虑系统建模过程中的线性化误差、低阶近似等不确定性及外界干扰造成的实际系统与系统模型G之间的误差。Δ是系统的未知部分，可能是非线性、时变的。K是控制器。为研究方便，我们假定系统模型如下：
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其中，x∈Ｒⁿ为状态变量；w_１∈Ｒ^m为干扰系统的输出；z_１∈Ｒ^p为干扰系统的输入；w_０∈Ｒ^l为外界干扰输入，是有单位强度的零均值正态白噪声；z_０∈Ｒ^q是控制输出；y∈Ｒ^r为观测量；u∈Ｒ_s为控制输入。Ａ、Ｂ_０、Ｂ_１、Ｂ_２、Ｃ_０、Ｃ_１、Ｃ_２、Ｄ_０２、Ｄ_１２、Ｄ_２０、Ｄ_２１是相应维数的常数矩阵。

    所谓混合Ｈ_２／Ｈ_∞的鲁棒控制器设计问题，主要是在图1系统的有界扰动‖Δ‖_∞≤γ^－１时，设计控制器，使系统鲁棒稳定，并使控制输出z₀的H₂范数最小。本文将针对如下几个特殊问题，进行研究。
    定义1：完整信息，ＦＩ（Ｆull Information)问题
    系统描述如右式。在这个问题中，所有状态和外界干扰都可以得到。本文仅考虑状态反馈，控制器并未用到干扰信号。另外系统满足如下假定：

    定义2：完整控制，FC(Full Control)问题
    系统描述如右式。在这个问题中，控制信号可以直接施加到所有状态变量和控制输出。同样，本文也仅考虑对状态变量进行控制。系统满足如下假定：

    定义3：干扰顺馈，ＤＦ（Ｄisturbance Feedforward)问题
    系统描述如右式。在这个问题中，我们假定干扰信号w_０、w_１通过同样的途径作用到系统中，即Ｂ_０＝Ｂ_１、Ｄ_２０＝Ｄ_２１＝Ｉ。这个问题考虑的系统描述与^［１］中研究问题的系统描述相似。另外假定：
    ⅰ) (A，Ｃ_０）及((A，Ｃ_１)可检测，A-B_１Ｃ_２是稳定的；
    ⅱ) (A，B_２）可稳定；

    定义4：输出估计，ＯＥ（Output Estimation)问题
    在这个问题中，我们假定针对H_２和H_∞性能的控制输出信号z_０、z₁相同，即C_０＝Ｃ_１、Ｄ_０２＝Ｄ_１２＝Ｉ。这个问题考虑的系统描述与^［２］中研究问题的系统描述相似。另外假定：
    ⅰ) (A，B_０）及((A，B_１)可稳定，A-B₂Ｃ₁是稳定的；
    ⅱ) (A，C_２）可检测；

    上述四种问题与H_２和H_∞控制中的相应问题有明显的相似点，各问题的假定条件也相同。因此，上述四种问题在Ｈ_２／Ｈ_∞控制中的重要性也与相似问题在H_２和H_∞控制中的重要性相同。另外，上述问题中，很明显ＦＣ、ＯＥ问题是FI、DF问题的对偶问题。
3 主要结论
    对含有不确定性Δ的系统，直接求解其z₀的H₂范数是一个非常困难的任务。若系统鲁棒稳定，则其z₀的H₂范数有上界，因此在混合Ｈ_２／Ｈ_∞问题中，常用这一上界来分析与综合系统。对此假定系统描述为

    引理1：假定系统如(2)式所示，若对任意满足‖Δ‖_∞≤１／γ的Δ，对系统任意解的轨迹x(t)，存在对称正定阵P，使得

    证明：取Lyapunov函数为xＴＰx，按文献^［２］定理1的证法，就可得到本引理。
    容易验证，若对任意满足‖Δ‖_∞≤１／γ的Δ，对系统任意解的轨迹x(t)，有(3)式成立，则系统是渐近稳定的。(3)式也保证了系统的二次稳定性。根据引理1，可将系统的性能指标取为

其中P满足(3)式。今后，我们将表J为z₀的H₂性能指标。
    引理2：假定系统如(2)式所示，若对任意满足‖Δ‖_∞≤１／γ的Δ，对系统任意解的轨迹x(t)，存在对称正定阵P，满足(3)式的充分必要条件是P也是下式的解

其中，α是一个实数。
    证明：由(6)式很容易证得(3)时。必要性证明，可参见文献^［６］的定理4.1的证明。
    本文今后将反复用到如下两个Riccati方程，其中α、β为实数。

    定理1(ＦＩ问题)：存在线性状态反馈控制器，使得‖Ｇ_z１w_１‖_∞＜γ且使z_０的H_２性能指标最小的充分必要条件是存在数α使得R_α（Ｘ）＝０有对称正定解X，则相应的最优反馈阵及z₀的H₂性能指标为

    定理2(ＦＣ问题)：存在线性反馈控制器，使得‖Ｇ_z１w_１‖_∞＜γ且使z_０的H_２性能指标最小的充分必要条件是存在数β使得R_β（Ｙ）＝０有对称正定解Y，则相应的最优反馈阵及z₀的H₂性能指标为

    定理2(ＤＦ问题)：存在线性反馈控制器，使得‖Ｇ_z１w_１‖_∞＜γ且使z_０的H_２性能指标最小的充分必要条件是存在数α使得Ｒ_α（Ｘ）＝０有对称正定解X，相应的最优反馈控制器为

其中K如(7)式所示，z₀的H₂性能指标如(8)式所示。
    定理4(ＯＲ问题)：存在线性反馈控制器，使得‖Ｇ_z１w_１‖_∞＜γ且使z_０的H₂性能指标最小的充分必要条件是存在数β使得Ｒ_β（Ｙ）＝０有对称正定解Y，相应的最优反馈控制器为

其中K如(9)式所示，z₀的H₂性能指标如(10)式所示。
    上述定理表明，对这几种特殊的问题，混合H₂／Ｈ_∞控制器与H_２和H_∞控制器的结构完全相同。但是在H₂和H_∞(给定γ)控制中，解出对应的Riccati方程，就可得到相应的反馈增益阵；而对混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制，必须搜索Riccati方程中的参数α(或β)，才能得到最优的反馈控制律。
    对上述几个特殊问题，我们来讨论其混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制器与H_２和H_∞控制器的关系，由于控制器的参数化表达式归结为解Riccati方程Ｒ_α（Ｘ）＝０（Ｒ_β（Ｙ）＝０），而这两个主程表示了对偶系统的情况，我们可对R_α（Ｘ）＝０进行讨论，来说明问题。
    性质1：当γ→∞时，典型系统的混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制器等价于文献^［５］中典型系统的H_２控制器。
    证明：当γ→∞时，使性能指标J最小的α，出现在α→∞，这时Riccati方程Ｒ_α（Ｘ）＝０成为

即H_２控制问题中的Riccati方程。
    性质2：记最优的性有指标为Ｊ_opt，若当α_opt→０时，使系统性能指标达到J_opt，则典型系统的混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制器等价于文献^［５］中典型系统的H_∞控制器。

很显然这是H_∞控制问题中的Riccati不等式方程。
    上述性质1和性质2表明，当Riccati方程R_α（Ｘ）＝０(或R_β（Ｙ）＝０）的参数变化时，可分别表示H_２、Ｈ_∞和混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制的情形，从一定意义上说，是H_２、Ｈ_∞和混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制的统一表达式。
4 定理证明
        (1)定理1证明
    设最优的反馈增益阵为K，由此构成的闭环系统为

    将具有(12)式约束的J的极值问题，通过Lagrange乘子法转化为无约束的极值问题并对Ｋ求极值，即可解得K。因为D^Ｔ_０２［Ｃ_０

显然，使J最优的解矩阵X，应在(13)式取等号时得到。定理得证。
        (2)定理3证明
    设有如下的ＦＩ和DF问题

    如果它们有控制器K_ＦＩ和K_ＤＦ，相应的闭环传递矩阵为T_ＦＩ和T_ＤＦ。构造K_ＤＦ如图2所示，其中

    由上式可知，状态e是不可控的。因假定A-B_１Ｃ₂是稳定的，所以系统存在反馈控制器使‖Ｇ_z１w₁‖_∞＜γ且使‖z₀‖₂极小，等价于存在状态反馈控制器使上式右下分块系统(按实线分块)满足‖T_z１w₁‖＜γ且‖z₀‖_２极小。因此，K_ＤＦ使G_ＤＦ内部稳定的充分必要条件是K_ＦＩ使G_ＦＩ内部稳定，此时有T_ＤＦ＝Ｔ_ＦＩ。
    根据上述ＤＦ问题的反馈控制器与FI问题的反馈控制器的关系，将定理1得到的FI问题的控制器应用到图2，即可得出定理3的结果。
        FC及OE问题是FI和DF问题的对偶问题，由对偶原理及定理1、定理3，即可得到定理2、定理4。
5 举例
    本节我们举一个例子，说明本文提出的设计方法。设系统描述为

试设计状态反馈控制器，使系统‖Ｔ_z１w_１‖＜γ且‖z_０‖_２极小。
由系统描述可知，这是一个ＦＩ问题。通过计算可知，当γ＞γ_０＝１．４１４２时，存在状态反馈控制器，使系统‖Ｔ_z１w_１‖＜γ(单纯的Ｈ_∞问题)。当然这也是存在状态反馈控制器，使混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制有最优解的条件。我们根据定理1计算了γ＝２和γ＝３的混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制。结果如下表所示，表中的α_max是使＝０有对称正定解的最大的α，α_opt是使性能指标达到最优的α，J_opt是与α_opt对应的性能指标。相应的J随α的变化关系如图3所示。

6 结束语
本文给出了混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制的完整信息、完整控制、干扰顺馈、输出估计这四种典型情况，并对其混合Ｈ_２／Ｈ_∞控制器设地进行了研究，给出了充分必要条件。本文的研究结果，简化了这四种情况下的混合Ｈ_２／Ｈ_∞状态反馈控制器设计，并为研究混合Ｈ_２／Ｈ_∞的输出反馈控制器设计问题提供了必要的基础。

参考文献

［１］D.S.Bernstein and W.M.Haddad,“OQG Control with an Ｈ_∞ Performance bound:A Riccati Equation Approach，［Ｊ］”IEEE Trans.Automat.Contr.,1989,34(3),pp293～305
［２］J.Doyle,K.Zhou,K.Glover,B.Bodenheimer,“Mixed Ｈ_２ and Ｈ_∞ Performance Objectives Ⅱ:Robust Performance Analysis,［Ｊ］”IEEE Trans.Automat.Contr.,1994,39(8),pp1575～1587
［３］P.P.Khargonekar,and M.A.Rotea,“Mixed Ｈ_２／Ｈ_∞ Control:A Convex Optimization Approach,［Ｊ］”IEEE Trans.Automat.Contr.,1991,36(7),pp824～837
［４］F.Paganini,“Convex Methods for Robust Ｈ_２ Analysis of Continuous_Times Systems,［Ｊ］” IEEE Trans.Automat.Contr.,1999,44(2),pp239～252
［６］A.A.Stoorvogel,“The Robust Ｈ_２ Control Problem:A Worst Case Design,［Ｊ］”IEEE Trans.Automat.Contr.,1993,38(9),pp1358～1370