MATLAB 矩阵特征值和矩阵函数

作者：未知信息来源:未知 2006-1-26

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3 矩阵特征值和矩阵函数5。1 特征值和特征向量的求取【例 5。1 -1 】简单实阵的特征值问题。[V,D]=eig(A)V =-0。...

5.3 矩阵特征值和矩阵函数

5.3.1 特征值和特征向量的求取

【例 5.3.1 -1 】简单实阵的特征值问题。
A=[1,-3;2,2/3];[V,D]=eig(A)
V =
-0.7728 + 0.0527i -0.7728 - 0.0527i
0 + 0.6325i 0 - 0.6325i
D =
0.8333 + 2.4438i 0
0 0.8333 - 2.4438i

【 * 例 5.3.1 -2 】本例演示：如矩阵中有元素与截断误差相当时的特性值问题。
A=[3 -2 -0.9 2*eps
-2 4 -1 -eps
-eps/4 eps/2 -1 0
-0.5 -0.5 0.1 1 ];
[V1,D1]=eig(A);ER1=A*V1-V1*D1
[V2,D2]=eig(A,'nobalance');ER2=A*V2-V2*D2
ER1 =
0 -0.0000 -0.0000 0.0000
0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 0.0000 0.0000 1.1227
ER2 =
1.0e-015 *
0.4441 -0.2220 0.1471 -0.2220
0 0.0555 -0.3629 0.2776
-0.0172 -0.0015 0.0066 0
0 -0.2220 -0.1110 0.1388

【 * 例 5.3.1 -3 】指令 eig 与 eigs 的比较。
rand('state',1),A=rand(100,100)-0.5;
t0=clock;[V,D]=eig(A);T_full=etime(clock,t0)% 指令 eig 的运作时间。
options.tol=1e-8; % 为 eigs 设定计算精度。
options.disp=0; % 使中间迭代结果不显示。
t0=clock;[v,d]=eigs(A,1,'lr',options);% 计算最大实部特征值和特征向量。
T_part=etime(clock,t0) % 指令 eigs 的运作时间。
[Dmr,k]=max(real(diag(D))); % 在 eig 求得的全部特征值中找最大实部的那个。
d,D(1,1)
T_full =
2.8000
T_part =
19.5500
d =
3.0140 - 0.2555i
ans =
3.0140 + 0.2555i

vk1=V(:,k+1); % 与 d 相同的特征向量应 V 的第 k+1 列。
vk1=vk1/norm(vk1);v=v/norm(v); % 向量度归一。
V_err=acos(norm(vk1'*v))*180/pi % 求复数向量之间的夹角（度）。
D_err=abs(D(k+1,k+1)-d)/abs(d) % 求两个特征值间的相对误差。
V_err =
8.5377e-007
D_err =
7098e-010

5.3.2 特征值问题的条件数

【例 5.3.2 -1 】矩阵的代数方程条件数和特征值条件数。
B=eye(4,4);B(3,4)=1;B
format short e,c_equ=cond(B),c_eig=condeig(B)
B =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
c_equ =
2.6180e+000

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.500000e-018.
> In E:\MAT53\toolbox\matlab\matfun\condeig.m at line 30
c_eig =
1.0000e+000
1.0000e+000
3.3333e+017
3.3333e+017

【 * 例 5.3.2 -2 】对亏损矩阵进行 Jordan 分解。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
[V,D,c_eig]=condeig(A);c_equ=cond(A);
DJ,D,c_eig,c_equ
A =
-9 11 -21 63 -252
70 -69 141 -421 1684
-575 575 -1149 3451 -13801
3891 -3891 7782 -23345 93365
1024 -1024 2048 -6144 24572
DJ =
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
D =
Columns 1 through 4
-0.0328 + 0.0243i 0 0 0
0 -0.0328 - 0.0243i 0 0
0 0 0.0130 + 0.0379i 0
0 0 0 0.0130 - 0.0379i
0 0 0 0
Column 5
0
0
0
0
0.0396
c_eig =
1.0e+010 *
2.1016
2.1016
2.0251
2.0251
1.9796
c_equ =
5.2133e+017

5.3.3 复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵的转化

【 * 例 5.3.3 -1 】把例 5.3.1-1 中的复数特征值对角阵 D 转换成实数块对角阵，使 VR*DR/VR=A 。
[VR,DR]=cdf2rdf(V,D)
VR =
-0.7728 0.0527
0 0.6325
DR =
0.8333 2.4438
-2.4438 0.8333

5.3.4 矩阵的谱分解和矩阵函数

【 * 例 5.3.4 -1 】数组乘方与矩阵乘方的比较。
clear,A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
A_Ap=A.^0.3 % 数组乘方
A_Mp=A^0.3 % 矩阵乘方
A_Ap =
1.0000 1.2311 1.3904
1.5157 1.6207 1.7118
1.7928 1.8661 1.9332
A_Mp =
0.6962 + 0.6032i 0.4358 + 0.1636i 0.1755 - 0.2759i
0.6325 + 0.0666i 0.7309 + 0.0181i 0.8292 - 0.0305i
0.5688 - 0.4700i 1.0259 - 0.1275i 1.4830 + 0.2150i

【 * 例 5.3.4 - 2 】标量的数组乘方和矩阵乘方的比较。（ A 取自例 5.3.4-1 ）
pA_A=(0.3).^A % 标量的数组乘方
pA_M=(0.3)^A % 标量的矩阵乘方
pA_A =
0.3000 0.0900 0.0270
0.0081 0.0024 0.0007
0.0002 0.0001 0.0000
pA_M =
2.9342 0.4175 -1.0993
-0.0278 0.7495 -0.4731
-1.9898 -0.9184 1.1531

【 * 例 5.3.4 -3 】 sin 的数组运算和矩阵运算比较。（ A 取自例 5.3.4-1 ）
A_sinA=sin(A) % 数组运算
A_sinM=funm(A,'sin') % 矩阵运算
A_sinA =
0.8415 0.9093 0.1411
-0.7568 -0.9589 -0.2794
0.6570 0.9894 0.4121
A_sinM =
-0.6928 -0.2306 0.2316
-0.1724 -0.1434 -0.1143
0.3479 -0.0561 -0.4602